Question

一道简单数学导数题 这样解错在哪 有加分

水以20立方米每分的速度流入一圆锥形容器（倒置），设容器深30米，上底直径12米，当水深10米时，水面上升的速度。
v=20t=1/3×∏×r^3×h 当h=10m时，r=2米，代入式中
h=15t/∏ h‘=15/∏
但是答案是5/∏
请教下我哪步做错了 有加分

Answer 1

当水深10米时，水面上升的速度 要求的是瞬时速度，你求的是平均速度
设当水深h米是，水面增加△h,需要时间△t
水深h时，上底直径12h/30=2h/5
△t->0时，△h->0,△t时间注入的水量
20△t=∏(h/5)^2*△h
△h/△t=500/(∏h^2)
瞬时速度
v=lim(△t->0)△h/△t=500/(∏h^2)
所以当h=10时，水面上升速度为500/(∏10^2)=5/∏

Answer 2

r和h之间是有关系的，h=5r，20t=1/3pi*r^2*h=pi*h^3/75，20=pi/25h^2*h'，h‘=500/pi/h^2=5/pi，没错啊。

Answer 3

v=20t=1/3×∏×r^3×h,这个式子是没有问题的，关键是，我们要通过这个式子把h与t的关系表示出来。而由比例式，r与h是存在关系的，即r:h=6:30，得r=h/5,代入20t=1/3×∏×r^3×h，
得7500t=∏×h^4,两边同时微分，有7500dt=4∏h^3dh,将h=10代入，得dh/dt=15/8∏

Answer 4

v=20t=1/3×∏×r^3×h 当h=10m时，r=2米，代入式中这步没错
带入式中应该是h=15t/2∏ h‘=15/2∏
h‘=7.5∏