Question

用构造方差证明：已知a,b,c,,d,e是实数且满足条件a+b+c+d+e=8，

a的平方+b的平方+c的平方+d的平方+e的平方=16，试确定e的最大值。

Answer 1

法1.柯西不等式 a^2+b^2+c^2+d^2+e^2>=[(a+b+c+d)^2]/4+e^2
所以 16>=[(a+b+c+d)^2]/4+e^2
又a+b+c+d=8-e
推得16>=[(8-e)^2]/4+e^2
化简得 5e^2-16e<=0
得e<=16/5 所以e的最大值为 16/5（高中）
法2.解：令f（t）=（t-a）2+（t-b）2+（t-c）2+（t-d）2，则f（t）=4t2-2（a+b+c+d）t+（a2+b2+c2+d2）≥0，
即f（t）=4t2-2（8-e）t+（16-e2）≥0，
∵t2的系数为4t*t＞0，
∴△=4（8-e）2-16（16-e2）≤0，
解得0≤e 《=16/5，
故e的最大值为16/5 ．