Question

在数列{an}中，a1=2, an+1=4an-3n+1, n∈N※

(1)证明数列{an-n}是等比数列
(2)设数列{an}的前n项和Sn , 求Sn+1- 4Sn的最大值。
求详解！！

Answer 1

(1)由an+1=4an-3n+1
得[a(n+1)-(n+1)]/(an-n)=4
所以数列{an-n}是公比为4的等比数列

(2)设数列{an-n}的通项为bn,前n项的和为Tn
b1=a1-1=1
Tn=(4^n-1)/3
同时Tn=b1+b2+b3+...+bn=a1-1+a2-2+a3-3+...+an-n=Sn-n(n+1)/2
Sn-n(n+1)/2=(4^n-1)/3
Sn=(4^n-1)/3+n(n+1)/2
Sn+1=[4^(n+1)-1)]/3+(n+1)(n+2)/2
Sn+1- 4Sn=[4^(n+1)-1]/3+(n+1)(n+2)/2-4[(4^n-1)/3+n(n+1)/2]
化简
[4^(n+1)-1]/3+(n+1)(n+2)/2-4[(4^n-1)/3+n(n+1)/2]
=[4^(n+1)-1]/3+(n+1)(n+2)/2-[4^(n+1)-4]/3-4n(n+1)/2
=[4^(n+1)-1]/3-[4^(n+1)-4]/3+(n+1)(n+2)/2-4n(n+1)/2
={[4^(n+1)-1]-[4^(n+1)-4]}/3+[(n+1)(n+2)-4n(n+1)]/2
=[4^(n+1)-1-4^(n+1)+4]/3+(n^2+3n+2-4n^2-4n)/2
=[4^(n+1)-4^(n+1)+4-1]/3+(-3n^2-n+2)/2
=1+(-3n^2-n+2)/2
=(2-3n^2-n+2)/2
=(-3n^2-n+4)/2
=-3n^2/2-n/2+2
=-3/2(n^2+n/3-4/3)
=-3/2(n^2+n/3+1/36-1/36-4/3)
=-3/2[(n+1/6)^2-49/36]
=-3/2(n+1/6)^2+49/24 （因为太乱，所以特别仔细小心地算）
由于只能取正整数，所以还得分析抛物线
抛物线的对称轴为n=-1/6
由于抛物线开口向下，在对称轴的右边是减函数，所以当n=1时，函数值得了大
所以Sn+1- 4Sn的最大值是=-3/2-1/2+2=0

Answer 2

1、a(n+1)-(n+1)=4(an-n)，于是an-n是首项为a1-1=1，公比为4的等比数列。
an-n=4^(n-1)，an=n+4^(n-1)。
2、sn=n(n+1)/2+(4^n-1)/3，s(n+1)-4sn=(n+1)(n+2)/2+(4^(n+1)-1)/3-2n(n+1)-(4^(n+1)-4)/3=-3/2n^2-1/2n+2=-3/2(n+1/6)^2+2+1/24，因此当n=1时得最大值，最大值为0

Answer 3

(1)∵数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*,
∴an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N*,a1-1=1,
∴数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列,
∴an-n=1×4n-1,an=4n-1+n.
(2)由(1)得bn=
n
an-n
=
n
4n-1
,
∴Sn=1+2×
1
4
+3×
1
42
+…+(n-1)×
1
4n-2
+n×
1
4n-1
,
则
1
4
Sn=1×
1
4
+2×
1
42
+…+(n-1)×
1
4n-1
+n×
1
4n
,
相减得
3
4
Sn=(1+
1
4
+
1
42
+…+
1
4n-1
)-n×
1
4n
=
4
3
(1-
1
4n
)-n×
1
4n
,
∴Sn=
16
9
(1-
1
4n
)-
n
3×4n-1
,
∴Sn+bn=
16
9
-
16
9
×
1
4n
-
n
3×4n-1
+
n
4n-1
=
16
9
+
1
3×4n-1
•(2n-
4
3
),
∵n≥1,∴2n-
4
3
>0,
∴Sn+bn>
16
9
.