Question

已知双曲线C：x^2/a^2 - y^2/b^2 =1(a>0,b>0),的离心率为2，焦点到渐近线的距离为 2√3，

点p的坐标为（0，-2），过p的直线I与双曲线C交于不同两点M、N。
（1）求双曲线C的方程
（2）设t=(OM) ⃗ . (OP) ⃗+ (OM ) ⃗ .(PN) ⃗ (o为坐标原点) ，求t的取值范围。
x^2/a^2 ： 表示a的平方分之x的平方 y^2/b^2：表示b的平方分之y的平方

Answer 1

1)易知焦点到渐近线的距离为b=2√3,又e=c/a=2,易求a=4,故双曲线方程为x2/16-y2/12=1
2)记过点P的直线方程为y=kx-2,点M(x1,y1),N(x2,y2)
直线方程代入双曲线方程化简为:(3-4k2)x2+16kx-64=0 ☆
则x1+x2=16k/(4k2-3),x1x2=64/(4k2-3),
又向量OM=(x1,y1),OP=(0,-2),PN=(x2,y2+2),
则t=(OM) ⃗ . (OP) ⃗+ (OM ) ⃗ .(PN) ⃗=-2y1+x1x2+y1(y2+2)=(k2+1)x1x2-2k(x1+x2)+4
= (48k2+52)/(4k2-3)=12+88/(4k2-3)
又方程☆有两个不等实根，故有△=256k2+256(3-4k2)>0，且3-4k2≠0,得0≤k2<1且k2≠3/4
所以t≤-52/3或t>100

Answer 2

c=2a,b=2√3,12=3a^2,a^2=4,b^2=12,双曲线C的方程x^2/4 - y^2/12=1
(2)设M（x1,y1),N(x2,y2),则t=(OM) ⃗ . (OP) ⃗+ (OM ) ⃗ .(PN)=-2y+x1x2+y1(y2+2)