Question

高中高一数学题，求解

已知圆C过点 (5,5)和(4,6)且圆心在直线y=2x上，直线L:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.
(1)求圆C的标准方程；
(2)当m为何值时，直线L被圆C截得的弦长最短，最短弦长为多少。

Answer 1

（1）首先设一个圆心坐标O（X，2X）（因为是在y=2x这条直线上），然后由于点（5，5）和点（4，6）在圆上，而圆上所有的点到圆心的距离是相同的，这说明（5，5）到（X，2X）的距离与（4，6）到（X，2X）的距离是相同的。由此我们可以列出一个方程等式。算出X=1。圆心O坐标为(1，2)，圆的半径为5。所以圆的方程是x2+y2-2x-4y-20=0
（2）首先根据直线L的方程式我们可以知道它过定点（3，1），然后画图建系，根据第一题算出来的圆的方程，把圆画好，再把直线L过的定点标出来，画图后可以轻易发现最短弦长是四根号五，m=-3/4
望采纳。

Answer 2

解题如下：
（1）设圆C的标准方程为：
（x-a）^2+（y-b）^2=r^2
则有：
把b=2a代入下列方程：
（5-a）^2+（5-b）^2=r^2
（4-a）^2+（6-b）^2=r^2
得：
（5-a）^2+（5-2a）^2=r^2…①
（4-a）^2+（6-2a）^2=r^2…②
①-②得：
(5-a-4+a)(5-a+4-a)+(5-2a-6+2a)(5-2a+6-2a)=0
9-2a-11+4a=0
2a=2
a=1，b=2a=2，代入①得r=5，
所以（x-1）^2+（x-2）^2=25

Answer 3

(1)圆经过(5,5)和(4,6)两点，那么圆心在其中垂线上
中点(4.5,5.5)，点段斜率k=(6-5)/(4-5)=-1，则垂线的斜率为k'=1
所以，中垂线方程为y=x+1
又已知圆心在直线y=2x上
联立解得，x=1，y=2
所以圆心为C(1,2)，半径=√[(1-5)²+(2-5)²]=5
所以圆C的标准方程为：(x-1)²+(y-2)²=25
(2)直线(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0
==> (2x+y-7)m+(x+y-4)=0
当2x+y-7=0，且x+y-4=0时，直线经过定点P(x,y)=P(3,1)
CP连线的斜率k=(2-1)/(1-3)=-1/2
所给直线斜率k=-(2m+1)/(m+1)
当所给直线与CP垂直时，截得的弦长最短

此时，-(2m+1)/(m+1)=2
所以，m=-3/4
CP²=(2-1)²+(1-3)²=5，由勾股定理得到：半弦长的平方=25-5=20
所以，半弦长=2√5
则，截得的最短弦长为4√5

Answer 4

我可以给你写详细步骤

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