Question

积分不等式证明题？

如图所示，题目和解法。我不理解的是圈内所示的变量代换后的积分上限是怎么来的。个人理解：因y=f(x)，所以用f(x)代替y后积分上下限应该不变，请解释一下变量代换是怎么代换的以及上下限的值怎么来的

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Answer 1

这里面理解的关键是要清楚，在进行变量代换后，积分变量发生了变化。
这里面的变量换就是把y用f(x)替代，从而使得两个积分都转化成关于变量x的积分。

积分中φ(y)直接换成φ(f(x))，然后dy换成df(x)。由于转化后是对变量x的积分，所以积分上下限要变换。
y=0时，由于f(x)单调且f(0)=0，所以原积分下限y=0在变化后对应的积分下限是x=0；
y=b是，根据反函数可以，x的取值为φ(b)。所以原积分上限y=b在变化后对应的积分上限是x=φ(b)。

供参考。