Question

等腰梯形ABCD中AD平行于BC，AB=DC,P是BC延长线上一点PE垂直于AB于E,PF垂直于CD于F,BG垂直于CD于G.求PE,PF,

BG之间的数量关系

Answer 1

PE=PF+BG
证明：
过点C作MN∥AB，交PE于M，过点B作BN⊥MN于N，MN交AD于H
∵等腰梯形ABCD，AB＝DC
∴∠A＝∠D
∵AD∥BC
∴∠DCP＝∠D
∴∠DCP＝∠A
∵AD∥BC，MN∥AB
∴平行四边形ABCH
∴∠A＝∠BCH
∵∠MCP＝∠BCH
∴∠MCP＝∠A
∴∠MCP＝∠DCP
∵MN∥AB，PE⊥AB
∴PE⊥MN
∵PF⊥CD
∴PM＝PF
∵∠MCP＝∠DCP
∴∠BCG＝∠BCN
∵BN⊥MN，BG⊥CD
∴BN＝BG
∵MN∥AB，BN⊥MN，PE⊥AB
∴矩形BNME
∴BN＝EM
∴BG＝EM
∵PE＝PM+EM
∴PE＝PF+BG

Answer 2

证明：过点P作PH⊥BG，垂足为H，（1分）
∵BG⊥CD，PF⊥CD，PH⊥BG，
∴∠PHG=∠HGC=∠PFG=90°，
∴四边形PHGF是矩形，
∴PF=HG，PH∥CD
∴∠BPH=∠C在等腰梯形ABCD中，∠PBE=∠C，
∴∠PBE=∠BPH∵∠PEB=∠BHP=90°，BP=PB，∠PBE=∠BPH，
∴△PBE≌△BPH（AAS）∴PE=BH，
∴PE+PF=BH+HG=BG．