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水槽的横截面积即为此等腰梯形的面积
梯形的面积S=(上底+下底)×高÷2
上底=a+2acosθ,下底=a,高=asinθ,其中0<θ<120°(∵θ=120°时三条木板构成等边三角形)
面积S=(a+2acosθ+a)×asinθ÷2=a²sinθ+a²sinθcosθ=a²sinθ+0.5a²sin2θ
对面积求θ导:S'=a²cosθ+a²cos2θ
令S'=0,即cos2θ+cosθ=0,即2cos²θ+cosθ-1=0,即(cosθ+1)(2cosθ-1)=0
求得cosθ=-1或cosθ=0.5,∴θ=60°或θ=180°(0<θ<120°排除掉了)
∴当0<θ<60°时,S'>0,S在此区间单调递增
当60°<θ<120°,S'<0,S在此区间单调递减
当θ=60°时,S有最大值,Smax=a²sinθ+0.5a²sin2θ=a²sin60+0.5a²sin120=[3(√3)/4]a²
梯形的面积S=(上底+下底)×高÷2
上底=a+2acosθ,下底=a,高=asinθ,其中0<θ<120°(∵θ=120°时三条木板构成等边三角形)
面积S=(a+2acosθ+a)×asinθ÷2=a²sinθ+a²sinθcosθ=a²sinθ+0.5a²sin2θ
对面积求θ导:S'=a²cosθ+a²cos2θ
令S'=0,即cos2θ+cosθ=0,即2cos²θ+cosθ-1=0,即(cosθ+1)(2cosθ-1)=0
求得cosθ=-1或cosθ=0.5,∴θ=60°或θ=180°(0<θ<120°排除掉了)
∴当0<θ<60°时,S'>0,S在此区间单调递增
当60°<θ<120°,S'<0,S在此区间单调递减
当θ=60°时,S有最大值,Smax=a²sinθ+0.5a²sin2θ=a²sin60+0.5a²sin120=[3(√3)/4]a²
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