Question

求曲线上的哪一点平行于直线，并求切线方程与法线方程，详细步骤？

Answer 1

求曲线 f(x)=x^3 上的哪一点的切线平行于直线 y=2x+1，并求切线方程与法线方程。

图片太不清楚，只能估计加统计，

2=k=f'(x)=3x^2, 

x=根号(2/3), y=f(x)=x^3=[根号(2/3)]^3=(2/9)*根号6

切线：y=2[x-(根号6)/3]+(2/9)*根号6

即：y=2x-(4/9)*根号6

法线：y=-(1/2)*[x-(根号6)/3]+(2/9)*根号6

即：y=-(1/2)*x+(1/18)*根号6

疏忽了，开平方应该取正负号，就不去改了，

Answer 2

y=2x+1的斜率k1=2
对于曲线y=x^3
y'=3x^2，即切线的斜率k2=3x^2
当k1=k2时，即3x^2=2，x^2=2/3
得x=±√（2/3）=±√6/3
代入曲线方程，得y=[±√（2/3）]^3
=±（2/3）√（2/3）
=±（2√6）/9
交点有两个：
（√6/3，2√6/9）与
（-√6/3，-2√6/9）
切线方程是：
y±2√6/9=2（x±√6/3）
y±2√6/9=2x±2√6/3
2x-y±（6√6/9-2√6/9）=0
切线方程：2x-y±4√6/9=0
法线方程是：法线斜率k3=-1/k2=-1/2
y±2√6/9=-1/2（x±√6/3）
2y±4√6/9=-(x±√6/3)
x+2y±（4√6/9+√6/3）=0
x-2y±(4√6/9+3√6/9)=0
切线方程：x-2y±7√6/9=0
有什么问题请留言。

Answer 3

解：① 由 f(x)＝x² 得 f'(x)＝2x，
而直线 y＝2x+1 的斜率为2，
故由 2x＝2 解得切点的横坐标为1，
进而得切点的纵坐标为 f(1)＝1²＝1，
所以曲线 f(x)＝x² 上的点(1,1)处的切线平行于直线 y＝2x+1；
② 由上述可知，切点坐标为(1,1)，切线斜率为 f'(1)＝2，故由直线方程的点斜式可得所求切线方程为
y-1＝2(x-1)，即 2x-y-1＝0，
所求法线方程为
y-1＝(-1/2)(x-1)，即 x+2y-3＝0 .

Answer 4

供参考，请笑纳。待续

追答