Question

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号2/2，并且椭圆过点（1,1），过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号2/2，并且椭圆过点（1,1），过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，椭圆上一点M满足MA=MB。（1）求椭圆C的方程；（2）求1/OA2+1/OB2+2/OM2的值；（3）是否存在定圆，使得直线l绕原点转动时，AM恒与该定圆相切，若存在，求出圆的方程，若不存在，说明理由

Answer 1

1）：e=c/a=根号2/2 e^2=1-b^2/a^2=1/2 所以a^2=2b^2 (1,1)代入原式得出a^2+b^2=a^2b^2
得出 b^2=3/2 a^2=3 椭圆x^2/3+2y^2/3=1
2)： 设直线AB y=kx 直线OM y=-1/kx
带入 x^2/3+2y^2/3=1 得
点A \B x^2=3/2k^2+1 y^2=3(k^2+1)/(2k^2+1)
点M x^2=3K^2/(k^2+2) y^2=3/(k^2+2)
1/OA^2=1/OB^2 =(2k^2+1)/3(k^2+1)
1/OM^2=(k^2+2)/3(k^2+1)
1/OA^2+1/OB^2+2/OM^2=2*[(3k^2+3)/3(k^2+1)=2
考虑特殊，y=0 和x=0 时成立
（3）是否存在定圆，

Answer 2

1）：e=根号2/2 e^2=1-b^2/a^2=1/2 所以a^2=2b^2 (1,1)代入原式得出a^2+b^2=a^2b^2
得出 b^2=3/2 a^2=3 椭圆x^2/3+2y^2/3=1
2)： 设直线AB y=mx 点A(x1,y1) B(x2,y2) M(x3,y3) y=mx 你画图可以观察到△MAB为等腰三角形 直线OM y=-1/mx y=mx 联立起来，在用韦达定理，，还要考虑特殊情况，y=0 和x=0 之后其实计算比较复杂，但你画出图形后，思路还是比较清晰！这东西到最后m会消掉的！ 我原来做过类似的题目。
3；）应该不存在，你可以举个y=0的例子。
哎。LZ 不给分，这道题可是压轴题也！ 要是分的多话，我也许帮你算下去。。呵呵，但希望你坚持算下去！

追问

你算的又不对……最后一问存在呢

追答

呵呵。那是我是凭感觉没有去算，请谅解！

Answer 3

最后一问答案是原点为圆心，到直线AM的距离为定值，定值可以根据直角三角形面积法来求，当然要用到第二问的答案，具体思路就是这样，我也是刚刚想出来

追问

为什么原点是圆心啊

追答

圆心在原点是思考的时候猜想的，但是最后可以证明这个猜想是正确的，算出来就是原点到直线AM的距离为定值，恒为1，所以就是以原点为圆心，半径为1的定圆了