Question

棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积

棱长为a的正四面体的四个顶点均在一个球面上，求此球的表面积

Answer 1

正四面体外接球半径为√6a/4，球表面积为4πR^2=3πa/2

Answer 2

每个面正三角形面积为√3，棱长为a,√3a^2/4=√3,a=2, 设高PH=√[4-(2√3/3)^2]=2√6/3,R^2=(2√6/3-R)^2 (2√3/3)^2, R

追问

连棱长为多少都还不知道呢，怎么得出的每个面正三角形面积。自己随便给乱想一个然后再逆推吗。那怎么不直接想一个表面积呀。。

追答

正四面体 顾名思义 就是四个面都相同 也就是六条边都相同，也就是一个面就是一个正三角形 题意为棱长为a的正四面体 也就是说正三角形的边为a 在由勾股定理可以求出三角形的高为√3a,由于底面为正三角形 所以正四面体的高垂直于底面的高且交于底面高的2/3处 再由勾股定理求出 正四面体的高为[(2√6)/3]a 且四面体的高与底面的高的2/3的 和r 构成一个直角三角形 可求出r^2=(2√6/3a-r)^2- (2√3/3a)^2 r=√6/12*a 恩 再由球的面积公式求出面积