Question

这题定积分怎么求？

拆括号逐个求就不用说了，要巧解

Answer 1

解法如下：

∫[0,2π] 2(t-sint)(1-cost)^2 dt

= ∫[0,2π] (1-cost) d(t-sint)^2

= [0,2π] (1-cost) (t-sint)^2 - ∫[0,2π] (t-sint)^2 sint dt

= ∫[0,2π] (t-sint)^2 dcost

= [0,2π] (t-sint)^2 cost - ∫[0,2π] cost 2(t-sint)(1-cost) dt

= 4π^2 - ∫[0,2π] cost 2(t-sint)(1-cost) dt (第二项展开后对各项分别求积分）

= 4π^2 + 2π^2

= 6π^2

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。

这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

令t=x+π换上下限→2πa^3∫[－π，π](x+sinx+π)(1+cosx)^2dx=2πa^3∫[－π，π](x+sinx)(1+cosx)^2dx+2π^2a^3∫[－π，π](1+cosx)^2dx写到这一步你需要注意加号的前面积分里面的函数是个奇函数，在对称区间内积分为零，加号后面积分里的函数是偶函数，它的对称区间可以划为两倍的右区间，故原式=4π^2a^3∫[0，π](1+2cosx+cosx^2)dx，接下来把他们各自分开来积分再相加，故上式=(4π^2a^3)×3π/2=6π^3a^3

Answer 3

我看答主同学的书或许应该是宇哥的基础三十讲（？）同本书我有做过
这道题可以利用P128 1.8.29（也就是宇哥说的区间再现公式来方便计算 你可以翻一下）
我个人认为由区间再现公式（上下限-t）令X=2 π-t会是比较顺利的换算方法 （避免看不出奇偶函数的情况 同时也不用代换区间）相加是可以大部分抵消掉
最后（1-cost）^2华里式公式即可

Answer 4

∫[0,2π] 2(t-sint)(1-cost)^2 dt
= ∫[0,2π] (1-cost) d(t-sint)^2
= [0,2π] (1-cost) (t-sint)^2 - ∫[0,2π] (t-sint)^2 sint dt
= ∫[0,2π] (t-sint)^2 dcost
= [0,2π] (t-sint)^2 cost - ∫[0,2π] cost 2(t-sint)(1-cost) dt
= 4π^2 - ∫[0,2π] cost 2(t-sint)(1-cost) dt (第二项展开后对各项分别求积分）
= 4π^2 + 2π^2
= 6π^2

Answer 5

解：注意到：[(t-sint)^2]'=2(t-sint)(1-cost);
原式=2πa^3∫(0,2π) (t-sint)(1-cost)d(t-sint)=πa^3[(t-sint)^2](0,2π)
=4a^3π^3。