Question

八上数学难题

如图DE分别是△ABC的边BC和AB上的点，△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长。设BC=a,AC=b,AB=c(注：E在AB上，D在BC上，迁就一下吧，没办法了)
(1)求AE和BC的长；（2)若∠BAC=90°，△ABC的面积为S，求证S=AE×BD
A /\
/ \
/ \
E/ \
B/__D_____\C

Answer 1

首先这题并不难，其次你的题目有误，不知道已知的BC和所求的BC哪个写错了，我这里权当已知BC，而所求的是BD。（其实我弄错了也没事，道理一样的）
解：（1）
∵△ABD与△ACD的周长相等，△CAE与△CBE的周长（相等）
∴AB+BD＝AC+CD ①
AC+AE＝BC+BE ②
∵AB=c，AC=b，CD=BC－BD，BC=a
∴①式可化为 c+BD=b+a-BD，
∴BD=(b+a-c)/2
又∵BE=AB﹣AE
∴②式可化为 b﹢AE=a+c﹣AE
∴AE=(a+c-b)/2
（2）∵∠BAC=90°，△ABC的面积为S
∴S=(1/2)AB·AC=(1/2)bc ③
BC² =AB²+AC²，即a²=c²+b²
由第(1)小题的结论可得
AE×BD=[(a+c-b)/2][(b+a-c)/2]
=[a-(b-c)][a+(b-c)]/4
=[a²-(b-c)²]/4
=(a²-c²-b²+2bc)/4
=bc/2 ④
综合③④，得S=AE×BD

Answer 2

求BC？？是BD吗？
1.设AE=X，BD=y。由题意知：b+a-y=c+y y=(a+b-c)/2
b+X=a+c-X X=(a+c-b)/2
2.因为∠BAC=90°，所以，S=bc/2 把上题的结果相乘 XY=(a^2+2bc-b^2-c^2)/4,再根据余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccos90°=b^2+c^2,再代入上式，即得证