八上数学难题
如图DE分别是△ABC的边BC和AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE的周长。设BC=a,AC=b,AB=c(注:E在AB上,D在BC上,迁就一下吧...
如图DE分别是△ABC的边BC和AB上的点,△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE的周长。设BC=a,AC=b,AB=c(注:E在AB上,D在BC上,迁就一下吧,没办法了)
(1)求AE和BC的长;(2)若∠BAC=90°,△ABC的面积为S,求证S=AE×BD
A /\
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E/ \
B/__D_____\C 展开
(1)求AE和BC的长;(2)若∠BAC=90°,△ABC的面积为S,求证S=AE×BD
A /\
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E/ \
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2个回答
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首先这题并不难,其次你的题目有误,不知道已知的BC和所求的BC哪个写错了,我这里权当已知BC,而所求的是BD。(其实我弄错了也没事,道理一样的)
解:(1)
∵△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE的周长(相等)
∴AB+BD=AC+CD ①
AC+AE=BC+BE ②
∵AB=c,AC=b,CD=BC-BD,BC=a
∴①式可化为 c+BD=b+a-BD,
∴BD=(b+a-c)/2
又∵BE=AB﹣AE
∴②式可化为 b﹢AE=a+c﹣AE
∴AE=(a+c-b)/2
(2)∵∠BAC=90°,△ABC的面积为S
∴S=(1/2)AB·AC=(1/2)bc ③
BC² =AB²+AC²,即a²=c²+b²
由第(1)小题的结论可得
AE×BD=[(a+c-b)/2][(b+a-c)/2]
=[a-(b-c)][a+(b-c)]/4
=[a²-(b-c)²]/4
=(a²-c²-b²+2bc)/4
=bc/2 ④
综合③④,得S=AE×BD
解:(1)
∵△ABD与△ACD的周长相等,△CAE与△CBE的周长(相等)
∴AB+BD=AC+CD ①
AC+AE=BC+BE ②
∵AB=c,AC=b,CD=BC-BD,BC=a
∴①式可化为 c+BD=b+a-BD,
∴BD=(b+a-c)/2
又∵BE=AB﹣AE
∴②式可化为 b﹢AE=a+c﹣AE
∴AE=(a+c-b)/2
(2)∵∠BAC=90°,△ABC的面积为S
∴S=(1/2)AB·AC=(1/2)bc ③
BC² =AB²+AC²,即a²=c²+b²
由第(1)小题的结论可得
AE×BD=[(a+c-b)/2][(b+a-c)/2]
=[a-(b-c)][a+(b-c)]/4
=[a²-(b-c)²]/4
=(a²-c²-b²+2bc)/4
=bc/2 ④
综合③④,得S=AE×BD
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