Question

设A为mxn矩阵，C为n阶矩阵，B=AC则秩A与秩B的关系

Answer 1

r(B)≦r(A),证明需要用向量组秩的比较定理:如果向量组Ⅰ可以用向量组Ⅱ线性表示，则r(Ⅰ)≦r(Ⅱ).将A用列向量组分块得A=(β1,...,βn),C的i行j列的元素是cij,即C=(cij),利用分块矩阵的乘法得B=AC=(β1,...,βn)(cij)=(c11β1+...+cn1βn,...,c1nβ1+...+cnnβn),上式说明AC的列向量组(即B的列向量组)可以用A的列向量组线性表示，根据秩的比较定理知，B的列秩≦A的列秩，所以r(B)≦r(A).