Question

高二椭圆问题~~！！急。。。。。。

x^2/a^2+y^2/b^2=1左右焦点分别为F1 F2,上顶点为A，x轴负半轴有一点B使BF1=F1F2,且AB垂直AF2.
（1）求椭圆离心率（2）过A,B,F2三点的圆恰好与直线x-√3 y-3=0相切，求椭圆方程
（3）在2的条件下，过右焦点F2做斜率为k的直线l与椭圆交与M N ,在x轴上是否存在P(m,0)，使PM,PN为邻边的平行四边形是菱形。。。
第一步还好，求解2 3部，详细点谢谢！

Answer 1

1)易求e=1/2
2)由题意知在三角形ABF2中，AB垂直AF2，F1为斜边BF2的中点，所以过A,B,F2三点的圆的圆心为点F1(-c,0),半径为2c.又圆恰好与直线x-√3 y-3=0相切，则圆心F1到直线的距离等于半径，即有：│-c-3│/√(1+3)=2c,由c>0,得c=1,所以a=2,b=√3,椭圆方程为：x2/4+y2/3=1
3)直线l的方程为y=k(x-1),它与椭圆的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2).将直线方程带入椭圆方程，化简得：(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则有x1+x2=8k2/(4k2+3)
由题意，当以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形时，点P必在线段MN的垂直平分线上，记为L1，直线L1必过线段MN的中点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2),即(4k2/(4k2+3),-3k/(4k2+3)),故直线L1的方程为
y=-1/k(x-4k2/(4k2+3))+(-3k/(4k2+3))=-(1/k)x+k/(4k2+3),它与x轴的交点为P(m,0)，带入得到
m=k2/(4k2+3),即当m满足上式时，存在点P,使PM,PN为邻边的平行四边形是菱形.
完。

Answer 2

1、|BF1|=|F1F2|=2c,|BF2|=4c,
△ABF2是RT△，
|AF1|+|AF2|=2a,（椭圆定义）
BO|=3c,
AB^2=OB^2+OA^2
=9c^2+b^2
=9c^2+a^2-c^2
AB^2=8c^2+a^2,(1)
|AF1|=|BF2|/2=2c,(直角△斜边中线为斜边长一半），
AF2=2a-2c,
AB^2=BF2^2-AF2^2=16c^2-(2a-2c)^2,(2)
对比（1）（2），
8c^2+a^2=16c^2-(2a-2c)^2，
4c^2+8ac-5a^2=0,
两边同除以a^2,用e替换c/a,
4e^2+8e-5=0,
(2e-1)(2e+5)=0,
e=1/2,舍去负值，
∴椭圆离心率为1/2。
2、过A,B,F2三点的圆就是以F1为圆心，|BF2|为直径的圆，（RT△ABF2的外接圆），
圆心坐标（-c,0),半径R=2c,(c为椭圆半焦距），
圆方程为：（x+c)^2+y^2=4c^2,
（x+c)^2+（√3x/3-√3）^2=4c^2,
4x^2+6(c-1)x+9-9c^2=0,
若直线y=√3x/3-√3与圆相切，则只有一公共点，二次方程判别式△=0，
36(c-1)^2-16(9-9c^2)
5c^2-2c-3=0,
(5c+3)(c-1)=0,
c=1,
e=1/2,
a=2c=2,
b^2=a^2-c^2=3,
∴椭圆方程为：x^2/4+y^2/3=1.
3、要使PM,PN为邻边的平行四边形是菱形，则|PM|=|PN|，考虑椭圆是轴对称图形，一般情况下则MN⊥X轴，但此时直线斜率不存在，故P应当是MN的垂直平分线和X轴的交点，所以存在这样的点。