Question

lim x->0 (arctanx-sinx)/X³

Answer 1

利用洛必达法则

lim(x→0) (arctanx - sinx)/x³

扩展资料

求极限基本方法有

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入；

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化；

3、运用两个特别极限；

4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。

Answer 2

过程如下：

lim(x→0) (arctanx - sinx)/x³

= lim(x→0) [1/(1 + x²) - cosx]/(3x²)

= (1/3)lim(x→0) (1 - cosx - x²cosx)/(x² + x⁴)

= (1/3)(1/2)lim(x→0) (sinx - 2xcosx + x²sinx)/(x + 2x³)

= (1/6)lim(x→0) (- cosx + 4xsinx + x²cosx)/(1 + 6x²)

= (1/6)(- 1 + 0)/(1 + 0)

= - 1/6

扩展资料：

在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a。

而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 3

这是过程

Answer 4

如图所示

Answer 5

解
limx→0 （arctanx-sinx）/x^3
=limx→0 [（1/1+x^2）-cosx]/（3x^2）
=（1/3）limx→0 [1-cosx（1+x^2）]/[（x^2）（1+x^2）]
=（1/3）limx→0 [1-cosx（1+x^2）]/（x^2+x^4）
=（1/3）limx→0 [sinx（1+x^2）-2xcosx]/（2x+4x^3）
=（1/6）limx→0 [sinx（1+x^2）-2xcosx]/（x+2x^3）
=（1/6）limx→0 [cosx（1+x^2）+2xsinx-2cosx+2xsinx]/（1+6x^2）
=-1/6