lim x->0 (arctanx-sinx)/X³
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网易云信
2023-12-06 广告
2023-12-06 广告
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过程如下:
lim(x→0) (arctanx - sinx)/x³
= lim(x→0) [1/(1 + x²) - cosx]/(3x²)
= (1/3)lim(x→0) (1 - cosx - x²cosx)/(x² + x⁴)
= (1/3)(1/2)lim(x→0) (sinx - 2xcosx + x²sinx)/(x + 2x³)
= (1/6)lim(x→0) (- cosx + 4xsinx + x²cosx)/(1 + 6x²)
= (1/6)(- 1 + 0)/(1 + 0)
= - 1/6
扩展资料:
在区间(a-ε,a+ε)之外至多只有N个(有限个)点;所有其他的点xN+1,xN+2,...(无限个)都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可,如果一个数列能达到这两个要求,则数列收敛于a。
而如果一个数列收敛于a,则这两个条件都能满足。换句话说,如果只知道区间(a-ε,a+ε)之内有{xn}的无数项,不能保证(a-ε,a+ε)之外只有有限项,是无法得出{xn}收敛于a的,在做判断题的时候尤其要注意这一点。
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解
limx→0 (arctanx-sinx)/x^3
=limx→0 [(1/1+x^2)-cosx]/(3x^2)
=(1/3)limx→0 [1-cosx(1+x^2)]/[(x^2)(1+x^2)]
=(1/3)limx→0 [1-cosx(1+x^2)]/(x^2+x^4)
=(1/3)limx→0 [sinx(1+x^2)-2xcosx]/(2x+4x^3)
=(1/6)limx→0 [sinx(1+x^2)-2xcosx]/(x+2x^3)
=(1/6)limx→0 [cosx(1+x^2)+2xsinx-2cosx+2xsinx]/(1+6x^2)
=-1/6
limx→0 (arctanx-sinx)/x^3
=limx→0 [(1/1+x^2)-cosx]/(3x^2)
=(1/3)limx→0 [1-cosx(1+x^2)]/[(x^2)(1+x^2)]
=(1/3)limx→0 [1-cosx(1+x^2)]/(x^2+x^4)
=(1/3)limx→0 [sinx(1+x^2)-2xcosx]/(2x+4x^3)
=(1/6)limx→0 [sinx(1+x^2)-2xcosx]/(x+2x^3)
=(1/6)limx→0 [cosx(1+x^2)+2xsinx-2cosx+2xsinx]/(1+6x^2)
=-1/6
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