lim x->0 (arctanx-sinx)/X³
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2024-04-11 广告
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过程如下：
lim(x→0) (arctanx - sinx)/x³
= lim(x→0) [1/(1 + x²) - cosx]/(3x²)
= (1/3)lim(x→0) (1 - cosx - x²cosx)/(x² + x⁴)
= (1/3)(1/2)lim(x→0) (sinx - 2xcosx + x²sinx)/(x + 2x³)
= (1/6)lim(x→0) (- cosx + 4xsinx + x²cosx)/(1 + 6x²)
= (1/6)(- 1 + 0)/(1 + 0)
= - 1/6
扩展资料：
在区间（a-ε，a+ε）之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1，xN+2，...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a。
而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间（a-ε，a+ε）之内有{xn}的无数项，不能保证（a-ε，a+ε）之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。
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解
limx→0 （arctanx-sinx）/x^3
=limx→0 [（1/1+x^2）-cosx]/（3x^2）
=（1/3）limx→0 [1-cosx（1+x^2）]/[（x^2）（1+x^2）]
=（1/3）limx→0 [1-cosx（1+x^2）]/（x^2+x^4）
=（1/3）limx→0 [sinx（1+x^2）-2xcosx]/（2x+4x^3）
=（1/6）limx→0 [sinx（1+x^2）-2xcosx]/（x+2x^3）
=（1/6）limx→0 [cosx（1+x^2）+2xsinx-2cosx+2xsinx]/（1+6x^2）
=-1/6
limx→0 （arctanx-sinx）/x^3
=limx→0 [（1/1+x^2）-cosx]/（3x^2）
=（1/3）limx→0 [1-cosx（1+x^2）]/[（x^2）（1+x^2）]
=（1/3）limx→0 [1-cosx（1+x^2）]/（x^2+x^4）
=（1/3）limx→0 [sinx（1+x^2）-2xcosx]/（2x+4x^3）
=（1/6）limx→0 [sinx（1+x^2）-2xcosx]/（x+2x^3）
=（1/6）limx→0 [cosx（1+x^2）+2xsinx-2cosx+2xsinx]/（1+6x^2）
=-1/6
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