数学题:如图,最后一步怎么算出来等于2的?
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10 + √108=10 + 6√3
令10 + 6√3=(√3a + b)³
则根据和的立方公式得:
(√3a)³ + 3•(√3a)²•b + 3•(√3a)•b² + b³
=a³•3√3 + 3•3a²b + 3•√3ab² + b³
=3√3a³ + 9a²b + 3√3ab² + b³
=(9a²b + b³) + 3√3(a³ + ab²)
∴9a²b + b³=10
a³ + ab²=2,则5a³ + 5ab²=10
∴9a²b + b³=5a³ + 5ab²
9a²b + b³ - 5a³ - 5ab²=0
(b³-a³)+(9a²b-4a³-5ab²)=0
(b-a)(b²+ab+a²) - a(5b²-9ab+4a²)=0
(b-a)(b²+ab+a²)-a(b-a)(5b-4a)=0
(b-a)(b²+ab+a²-5ab+4a²)=0
(b-a)(5a²-4ab+b²)=0
∴b-a=0或5a²-4ab+b²=0
当5a²-4ab+b²=0时,则a²+(2a-b)²=0
∵a²≥0,(2a-b)²≥0
∴要使等式成立,则a=0,b=0
与题设矛盾,舍去
∴b-a=0,即a=b
将a=b代回:a³+ab²=a³+a•a²=2a³=2
∴a=1=b
即:10 + √108=(√3 + 1)³
同理:10 - √108=(1 - √3)³
∴x=(√3 + 1) + (1 - √3)=2
令10 + 6√3=(√3a + b)³
则根据和的立方公式得:
(√3a)³ + 3•(√3a)²•b + 3•(√3a)•b² + b³
=a³•3√3 + 3•3a²b + 3•√3ab² + b³
=3√3a³ + 9a²b + 3√3ab² + b³
=(9a²b + b³) + 3√3(a³ + ab²)
∴9a²b + b³=10
a³ + ab²=2,则5a³ + 5ab²=10
∴9a²b + b³=5a³ + 5ab²
9a²b + b³ - 5a³ - 5ab²=0
(b³-a³)+(9a²b-4a³-5ab²)=0
(b-a)(b²+ab+a²) - a(5b²-9ab+4a²)=0
(b-a)(b²+ab+a²)-a(b-a)(5b-4a)=0
(b-a)(b²+ab+a²-5ab+4a²)=0
(b-a)(5a²-4ab+b²)=0
∴b-a=0或5a²-4ab+b²=0
当5a²-4ab+b²=0时,则a²+(2a-b)²=0
∵a²≥0,(2a-b)²≥0
∴要使等式成立,则a=0,b=0
与题设矛盾,舍去
∴b-a=0,即a=b
将a=b代回:a³+ab²=a³+a•a²=2a³=2
∴a=1=b
即:10 + √108=(√3 + 1)³
同理:10 - √108=(1 - √3)³
∴x=(√3 + 1) + (1 - √3)=2
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直接运算的方法没有吗?
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我是没想到有什么直接运算的方法,要么按计算器吧
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