Question

请高手证明：

Answer 1

结论应该是绝对收敛，而不是条件收敛
下面考察级数∑{n=1,∞}∫{0,π/4} (tanx)^ndx的敛散性(去掉有限项，敛散性不变)：
∵当0<x<π/4时，0<tanx<1，故0< (tanx)^n<tanx<1
∴0<∫{0,π/4} (tanx)^ndx<∫{0,π/4} tanxdx<∫{0,π/4}1dx=π/4<1
同时注意到对于x，(tanx)^n在[0,π/4]上单调增加
因此，由积分中值定理可知，存在一点ξ{n}∈(0,π/4)，n=1,2,...，使得
∫{0,π/4} (tanx)^ndx=π/4*(tanξ{n})^n
取q=max{tanξ{n}}，而0<q<1
则∫{0,π/4} (tanx)^ndx≤π/4*q^n
而级数∑{n=1,∞}π/4*q^n收敛，由比较判别法可知级数∑{n=1,∞}∫{0,π/4} (tanx)^ndx收敛
故原级数绝对收敛

实际上，由于数列{tanξ{n})单调减小，因此q值是可以算出来的，即
q=4/π*∫{0,π/4} tanxdx=4/π*1/2*ln2≈0.4413

追问

但是原题就是要证明条件收敛啊！题不会错的。

追答

你先把我写的看完，有问题再说
不好意思，上面确实是我搞错了：数列{tanξ{n})单调增加，没有最大值，上确界为1．因此，不存在这样的q进行比较．
下面先证不是绝对收敛，再证条件收敛

∵当01/2*[∫{0,π/4} (tanx)^ndx+∫{0,π/4} (tanx)^(n+2)dx]
=1/2*∫{0,π/4}{(tanx)^n*[1+ (tanx)^2]}dx
=1/2*[∫{0,π/4} (tanx)^nd(tanx)
=1/2* (tanx)^(n+1)/(n+1)|{0,π/4}
=1/[2*(n+1)]>0
而级数∑{i=0,n}1/[2*(n+1)]发散，由比较判别法可知，原级数不是绝对收敛
类似可以证明，当n≥2时，
∫{0,π/4} (tanx)^ndx<1/2*[∫{0,π/4} (tanx)^ndx+∫{0,π/4} (tanx)^(n-2)dx]=1/[2*(n-1)] ①

由莱布尼兹判别法：
(1)∫{0,π/4} (tanx)^(n+1)dx<∫{0,π/4} (tanx)^ndx
(2)由①式可知，0<∫{0,π/4} (tanx)^ndx<1/[2*(n-1)]
利用夹逼定理，lim{n→∞}∫{0,π/4} (tanx)^ndx =0
综上，原级数条件收敛