Question

证明：如果一个向量组张成v，那么由每个向量减去其后一个向量所得到的组也张成v。

证明：如果一个向量组（v1，…，vn）张成V，那么由其中每个向量（最后一个除外）减去其后一个向量所得到的组（v1-v2，v2-v3，…，vn_1-vn，vn）也张成V

Answer 1

这个题目只需证明两个向量组可以互相线性表示即可
证明: 显然 v1-v2，v2-v3，…，vn_1-vn，vn 可由 v1，…，vn 线性表示
且 （v1-v2，v2-v3，…，vn_1-vn，vn）= （v1，…，vn）K
K =
1 0 0 ... 0
-1 1 0 ... 0
0 -1 1 ... 0
...
0 0 0 ... 1
因为 |K| = 1≠0, 故K可逆
所以 （v1-v2，v2-v3，…，vn_1-vn，vn）K^-1 = （v1，…，vn）
所以 v1，…，vn 可由 v1-v2，v2-v3，…，vn_1-vn，vn 线性表示
所以两个向量组等价,
故它们所张成的向量空间相等.