Question

设函数F(x)=LNx+x2-2ax+a2,a属于R 若函数F(x)在［1/2,2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围

Answer 1

设函数f(x)=lnx+x^2-2ax+a^2,a属于R （2012 03 13）
(1) 若a=0 求函数f(x) 在［1,e)上的最小值
(2) 函数f(x)在［1/2,2]上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围
(3) 求函数f(x)的极值点
（1）a=0 f(x)=lnx+x^2 而y=lnx与 y=x^2都是增函数，所以当x=1时取最小值1
（2）根据题意当x属于［1/2,2]时存在，(函数的定义域为x>0)
f’(x)=1/x+2x-2a=(2x^2-2ax+1)/x>0
即 2x^2-2ax+1 在x=1/2时大于0 推出a<3/2
或在x=2是大于0 推出a<9/4
最终取二者的并a<9/4
（3）f’(x)=1/x+2x-2a=(2x^2-2ax+1)/x>0(函数的定义域为x>0)
g(x)= 2x^2-2ax+1
(a) 当a≦0 时 g(x)>0 恒成立f’(x)>0 函数f(x)没有极值点
(b) 当 a>0 时 （i） △≦0即0<a≦√2时，在定义域内g(x)≧0
恒成立函数f(x)没有极值点
(ii) △>0时即a>√2时 易知当

g(x)<0这时f’(x)<0 当 时g(x)>0 这时f’(x)>0所以a>√2时

是函数的极大值点

是函数的极小值点
综上所述当a≦√2时函数没有极值点 当a>√2时 是函数的极大值点 是函数的极小值点

Answer 2

函数F(x)在［1/2,2]上存在单调递增区间
所以F(x)'=1/x+2x-2a>0
且1/x+2x-2a≥2根号(1/x ×2x)-2a=2根号2-2a（当1/x=2x时取到等号）
所以2根号2-2a>0
所以a>根号2

Answer 3

设函数f(x)=Lnx+（x－a)（x－a)，a∈R,若函数f(x)在[0.5，2]f‘（x）=1/x+2（x-a） 若不存在单调递增区间 则f‘（0.5）<0 f