设函数F(x)=LNx+x2-2ax+a2,a属于R 若函数F(x)在[1/2,2]上存在单调递增区间,试求实数a的取值范围
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设函数f(x)=lnx+x^2-2ax+a^2,a属于R (2012 03 13)
(1) 若a=0 求函数f(x) 在[1,e)上的最小值
(2) 函数f(x)在[1/2,2]上存在单调递增区间,试求实数a的取值范围
(3) 求函数f(x)的极值点
(1)a=0 f(x)=lnx+x^2 而y=lnx与 y=x^2都是增函数,所以当x=1时取最小值1
(2)根据题意当x属于[1/2,2]时存在,(函数的定义域为x>0)
f’(x)=1/x+2x-2a=(2x^2-2ax+1)/x>0
即 2x^2-2ax+1 在x=1/2时大于0 推出a<3/2
或在x=2是大于0 推出a<9/4
最终取二者的并a<9/4
(3)f’(x)=1/x+2x-2a=(2x^2-2ax+1)/x>0(函数的定义域为x>0)
g(x)= 2x^2-2ax+1
(a) 当a≦0 时 g(x)>0 恒成立f’(x)>0 函数f(x)没有极值点
(b) 当 a>0 时 (i) △≦0即0<a≦√2时,在定义域内g(x)≧0
恒成立函数f(x)没有极值点
(ii) △>0时即a>√2时 易知当
g(x)<0这时f’(x)<0 当 时g(x)>0 这时f’(x)>0所以a>√2时
是函数的极大值点
是函数的极小值点
综上所述当a≦√2时函数没有极值点 当a>√2时 是函数的极大值点 是函数的极小值点
(1) 若a=0 求函数f(x) 在[1,e)上的最小值
(2) 函数f(x)在[1/2,2]上存在单调递增区间,试求实数a的取值范围
(3) 求函数f(x)的极值点
(1)a=0 f(x)=lnx+x^2 而y=lnx与 y=x^2都是增函数,所以当x=1时取最小值1
(2)根据题意当x属于[1/2,2]时存在,(函数的定义域为x>0)
f’(x)=1/x+2x-2a=(2x^2-2ax+1)/x>0
即 2x^2-2ax+1 在x=1/2时大于0 推出a<3/2
或在x=2是大于0 推出a<9/4
最终取二者的并a<9/4
(3)f’(x)=1/x+2x-2a=(2x^2-2ax+1)/x>0(函数的定义域为x>0)
g(x)= 2x^2-2ax+1
(a) 当a≦0 时 g(x)>0 恒成立f’(x)>0 函数f(x)没有极值点
(b) 当 a>0 时 (i) △≦0即0<a≦√2时,在定义域内g(x)≧0
恒成立函数f(x)没有极值点
(ii) △>0时即a>√2时 易知当
g(x)<0这时f’(x)<0 当 时g(x)>0 这时f’(x)>0所以a>√2时
是函数的极大值点
是函数的极小值点
综上所述当a≦√2时函数没有极值点 当a>√2时 是函数的极大值点 是函数的极小值点
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函数F(x)在[1/2,2]上存在单调递增区间
所以F(x)'=1/x+2x-2a>0
且1/x+2x-2a≥2根号(1/x ×2x)-2a=2根号2-2a(当1/x=2x时取到等号)
所以2根号2-2a>0
所以a>根号2
所以F(x)'=1/x+2x-2a>0
且1/x+2x-2a≥2根号(1/x ×2x)-2a=2根号2-2a(当1/x=2x时取到等号)
所以2根号2-2a>0
所以a>根号2
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设函数f(x)=Lnx+(x-a)(x-a),a∈R,若函数f(x)在[0.5,2]f‘(x)=1/x+2(x-a) 若不存在单调递增区间 则f‘(0.5)<0 f
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