Question

观察：1/1×2+1/2×3=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)=1-1/3=2/3

先观察1/1×2+1/2×3=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)=1-1/3=2/3
1／1×2+1/2×3＋1／3×4＝(1/1-1/2)+(1/2-1/3)＋（1／3－1／4）＝1－1／4＝3／4
在计算1／1×2+1/2×3＋1／3×4＋···＋1／n（n＋1）的值！

Answer 1

都这么明显了...
观察下发现:
1/(1×2)=1/1-1/2
1/(2×3)=1/2-1/3
1/(3×4)=1/3-1/4
那么可以推断:
1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
于是:
1／1×2+1/2×3＋1／3×4＋···＋1／n（n＋1）
=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1-3-1/4)+···+[1/n-1/(n+1)] (※)
=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+···+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)

解释下※
打开括号后,可以发现※中,括号的第二个数和下一个括号里的第一个数相加得0,因此在将※的所有括号都打开后,将只留下第一个括号的第一个数1和最后一个括号的最后一个数-1/(n+1)

Answer 2

原式=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4........+1/n - 1/n+1 =1 - 1/n+1=n/n+1

Answer 3

=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+.........+(1/n-1/n+1)=1-1/n+1=n/n+1

Answer 4

裂项相消1-1/n+1