Question

数学 复变函数 这道题为什么选B

数学 复变函数 这道题为什么选B第6题

Answer 1

由柯西积分公式，
f(1)=1/2πi*∫(C)f(z)/(z-1)*dz
其中C取z=1+e^iθ
于是z-1=e^iθ，dz=ie^iθdθ，θ从0到2π
所以f(1)=1/2πi*∫(0→2π)f(1+e^iθ)/e^iθ*ie^iθdθ
=1/2πi*i∫(0→2π)f(1+e^iθ)dθ
所以2πf(1)=∫(0→2π)f(1+e^iθ)dθ

Answer 2

设z=a+bi，z->0a->0,b->0 lim（z->0)f(z)=lim（z->0)Re(z)/|z|=lim（a->0,b->0)a/√（a2+b2）设b=g(a),g(0)=0,lim（a->0）g(a)=0，z沿b=g(a)方向趋近于0，原式=lim（a->0）a/√（a2+b2），0/0型，用洛必达法则： =lim（a->0）1/[(1/2)(2a+2bb')/√（a2+b2）]=√（a2+b2）/(a+bb') 设z沿b=ka方向趋近于0，原式=lim（a->0，b->0）a/|a|√（1+k2）=±1/√（1+k2）设z沿b=ka2方向趋近于0，原式=lim（a->0，b->0）a/|a|√（1+k2a2）=±1 与趋近于0的路径有关。