Question

y''+4y'+3y=e^-t,用拉氏变换求常微分方程,y(0)=y'(0)=1

Answer 1

此题可以不用拉氏变换求解！
解：∵齐次方程y''+4y'+3y=0的特征方程是r²+4r+3=0
==>r1=-1,r2=-3
∴此齐次方程的通解是y=C1e^(-t)+C2e^(-3t)
(C1,C2是积分常数)
设原方程的特解是y=Ate^(-t)
==>y'=Ae^(-t)-Ate^(-t),y''=Ate^(-t)-2Ae^(-t)
代入原方程得Ate^(-t)-2Ae^(-t)+4[Ae^(-t)-Ate^(-t)]+3Ate^(-t)=e^(-t)
==>2Ae^(-t)=e^(-t)
==>A=1/2
即原方程的特解是y=te^(-t)/2
故原方程的通解是y=C1e^(-t)+C2e^(-3t)+te^(-t)/2
(C1,C2是积分常数)。
∵y(0）=y'(0)=1
y'=-C1e^(-t)-3C2e^(-3t)+e^(-t)/2-te^(-t)/2
==>C1+C2=-C1-3C2+1/2=1
==>C1=7/4,C2=-3/4
∴原方程满足条件y(0)=y'(0)=1的解是y=7e^(-t)/4-3e^(-3t)/4+te^(-t)/2。

Answer 2

y''+4y'+3y=0的通解是y=c1e^(-t)+c2e^(-3t).
设y=ate^(-t)是y''+4y'+3y=e^(-t)的特解，则
y'=a(1-t)e^(-t),
y''=a(t-2)E^(-t),代入原方程得
a(t-2+4-4t+3t)=1,a=1/2,
所以原方程的通解是y=(c1+t/2)e^(-t)+c2e^(-3t).

追问

用拉氏变换

Answer 3

s^2Y（s）-sy（0）-y'（0）+4［sY（s）-y（0）］+3Y（s）=1/（s＋1）
Y（s）（s^2+4s＋3）=1/（1+s）＋s＋5
Y（s）=（s^2+6s＋6）/［（s^2+4s+3）（s+1）］
y（t）=te^（-t）/2+7e^（-t）/4-3e^（-3t）/4

Answer 4

等下我给你算。

追问

你好，可以请问一下算好了吗