Question

如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆O交BC于点D,交AC于点E，过点D作DF垂直AC

，垂足为F。（1）求证：DF为圆O的切线；（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG。当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数

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Answer 1

1、连接AD，OD
∵AB是直径
∴∠ADB=∠ADC=90°即AD⊥BC
∵AB=AC
∴AD是等腰三角形ABC的中线（三线合一）
即BD=DC
∵OA=OB
∴OD是△ABC的中位线
∴OD∥AC
∴∠ODF+∠AFD=180°
∵DF⊥AC，即∠AFD=90°
∴∠ODF=90°即OD⊥DF
∴DF为⊙O的切线；
2、∵AB是直径，△ABC是等边三角形
∴∠BEA=∠BEC=90°即BE(BG)⊥AC
∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∴BE是等边三角形ABC的中线，即AE=EC
∵EG=EG，∠AEG=∠CEG=90°
∴△AEG≌△CEG(SAS)
∴∠GAE=∠GCE，即∠GAC=∠GCA
∵AG∥BC
∴∠GAB+∠ABC=180°
即∠GAC+∠BAC+∠ABC=180°
∴∠GAC=60°
∴∠GAC=∠GCA=60°
∴△ACG是等边三角形
∴∠AGC=60°