过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与抛物线相交于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程

过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与抛物线相交于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程?... 过抛物线y^2=4x的焦点F的直线L与抛物线相交于A,B两点,求弦AB的中点的轨迹方程? 展开
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匿名用户
2013-11-16
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解:由抛物线的标准方程:y^2=2px 且其焦点坐标为:F(p/2,0)得出y^2=4x的焦点坐标为(1,0);当过焦点的直线垂直于x轴时,AB中点坐标为(1,0)。当过焦点的直线不垂直与x轴时,设直线的斜率为k,肯显然k不等于0,则直线方程为y=k(x-1)……(1);把方程(1)带入抛物线方程y^2=4x得:(kx)^2-(2k^2+4)x+k^2=0……(2);有二次方程根与系数的关系(韦达定理)及中点坐标公式知:线段AB中点的横向坐标为:x0=[(2k^2+4)/k^2]/2=(k^2+2)/k^2……(3);把(3)式代入方程(1)得y0=2/k;由中点坐标可得出中点的轨迹方程为:x=(k^2+2)/k^2=1+2/k^2=1+[(2/k)^2]/2=1+y/2,即y=2x-2;可知(1,0)满足中点轨迹方程,则弦AB的中点轨迹为y=2x-2。
匿名用户
2013-11-16
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设AB的中点为O(x,y);A(x1,y1),B(x2,y2);
∵直线过抛物线y^2=4x得焦点,而焦点F(1,0)
∴设直线的方程为:y=k(x-1) .........................(1)
将(1)^2代入抛物线方程中可得:
k^2(x-1)^2=4x =>k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
∴x1+x2=(2k^2+4)/k^2
∵y1+y2=k(x1+x2-2)=4/k ..............................(2)

∵x=(x1+x2)/2=(k^2+2)/k^2=(2+(2/k^2)).................(3)
y=(y1+y2)/2=2/k =>2/k^2=y^2/2.........................(4)
∴将(4)代入(3)可得:
x=(2+(y^2/2)) =>y^2=2x-4

所以 AB的中心轨迹方程为:y^2=2x-4
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