Question

几何题，求解答，谢谢。

Answer 1

首先找到勾股数11，60，61。这是含有11的唯一勾股数。
过程及原因如下：
假设a,b,11为一组勾股数
若11²=a²+b²，直接a、b枚举，结果是不存在；（其实这种情况无需讨论，因为11不可能作为斜边，题目中含有11的是直角边）
若11²=a²-b²，得11²=（a+b）（a-b）
巧妙利用性质：11为质数。。所以只可能是｛a+b=121，a-b=1｝
得a=61，b=60
即勾股数11，60，61是含有11的唯一勾股数。

由图，好像CD>BD的样子，要使三边都为整数
BD：CD：BC=11：60：61
由相似三角形性质，得
CD：DA：CA=11：60：61
∴CD=11×11×60
BC=11×11×61
DA=11×60×60
CA=11×60×61
满足要求
∴所求周长之比为11：60

你可能会问，为什么不去找含有121的勾股数呢？含有1331的勾股数呢？含有1的勾股数呢？

由相似三角形性质，得 DA=1331×（CD/BD）²
若寻找的勾股数为121，a，b（a<b），其中121、a、b两两互质
则CD/BD的化简结果为：a/121。计算得DA=a²/11。由互质的性质，分母的11无法除掉。所以DA不是整数。

若寻找的勾股数为1331，a，b，那更不可能了，DA=a²/1331.

勾股数不可能含有1。

CD/BD化简结果只可能为：a/11，（其中11，a，b为一组勾股数）才满足要求。所以必须找到一个含有11的勾股数。
此时DA=a²×11，多出一个11没有除掉。其实这个图所有边长都为11的倍数，原因也在此了。

Answer 2

由题意，AB为整数，BD=1331，所以AD为整数，
由三角形ABC面积公式知AC•BC=AB•CD，所以CD为有理数
设BC=a，AC=b，AD=d，CD=x，则
根据 CD平方=BD•AD，得 x=根号1331d=11根号11d，
再设d=11n平方，则x=121n.................注：这时的n有可能是分数。
根据 AC平方=AD•AB，得 b=根号d（d+1331）=11n根号（n平方+11平方），
由于b为整数，所以n不是分数，且n=60（因为11、60、61为一组勾股数）
根据 BC/CD=AC/AD，得 a=根号1331（d+1331）=121根号（n平方+11平方）
于是，简单化简即易求得周长之比=11/n=11/60