Question

设A为mxn实矩阵，证明秩（AtA）=秩（A）

网上那种解答的方法没学过，请问有没有更好的方法

Answer 1

只要证明方程组A'Ax=0和Ax=0同解(记A'=At)

若x是Ax=0的解，则显然x也是A'Ax=0的解

若x是A'Ax=0的解

则x'A'Ax=x'0=0

(Ax)'(Ax)=0

||Ax||=0

Ax的范数为0的当且仅当Ax=0

所以x是Ax=0的解。

矩阵中所有的数都是实数的矩阵。如果一个矩阵中含有除实数以外的数，那么这个矩阵就不是实矩阵。

扩展资料：

在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式。

正定矩阵的行列式恒为正；实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；两个正定矩阵的和是正定矩阵；正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

对于具体的实对称矩阵，常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性；对于抽象的矩阵，由给定矩阵的正定性，利用标准型，特征值及充分必要条件来证相关矩阵的正定性。

参考资料来源：百度百科——实矩阵

Answer 2

可以构造方程组
AtAx=0① 和Ax=0② 证明他们同解即可
②的解显然是①的解
若x≠0是①的解 则xTATAx=（Ax）T（Ax）=0 所以Ax=0 所以②也是①的解