Question

请教三道关于极限的数学题，求别用洛必达法则。

1、lim(x→0)(x-√x)/√x
2、lim(x→0) [√2-√（1+cosx）]/sin^2(x)
3、lim(x→0)(lnx-1)/(x-e)
求详细解答过程，别用洛必达法则~
第三题写错了，是x趋近于e，不是0。
第三题，设lnx-1=t，再求解。

Answer 1

1-cosx ~x^2/2;ln(1+x)~x,趋于零的时候成立

追问

为什么1题lim(x-√x)/√x=lim(√x-1)? 3题lim[ln(x-e)/e+1]/x-e=lim[(x-e)/e]/x-e?

追答

1. 因为分子除以分母呀，分子x-√x,分母√x，一除就是√x-1
   

  3.ln(1+x)~x (x趋于0)，那ln(x-e+1)~x-e,(x趋于e);相当于令y=x-e,x趋于e,则y趋于0，所以ln(x-e)/e+1 就等价于 (x-e)/e，（x趋于e）

Answer 2

1.第一题左极限不存在，所以无解
右极限lim（x->0）（√x-1）=-1

2.1+cos x=1+【2（cos x/2）²-1】=2（cos x/2）²
（sin x）的平方~x的平方（等价无穷小）
分子√2-√2*（cos x/2）=2√2（sin x/4）²~2√2（x/4）²=√2/8x²
极限为=√2/8

3.lnx-1~x（等价替换）
lim(x→0)(lnx-1)/(x-e)=(x→0)x/(x-e)=-1/e

希望采纳！！！

Answer 3

　　2、分子分母都化两次半角，约分后
　　 √2/{4cos^2(x/4)[(cos^2(x/4)-sin^2(x/4)]}=√2/{4cos^2(x/4)cos^2(x/2)}= √2/4
　　3、令x-e=t
　　ln(((t+e)/e)^(1/t)=(1/e)ln((t/e-1)^(e/t))=1/e