Question

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 y=1/4x^2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线 y=1/4x^2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
(4)对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线 m，使m与以MN为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．

Answer 1

直线y=kx+b过点F（0，1），所以b=1
直线与抛物线相交于M、N两点，所以kx+1=1/4*(x^2)为x1，x2必须满足的方程，于是知
x1+x2=4k
x2-x1=4(（1+k^2）^(1/2))
所以MN中点坐标为（2k，2k+1），以MN为直径的动圆直径为4（1+k^2），即
动圆圆心为（2k，2k+1），半径为2（1+k^2），因此知道动圆半径与动圆圆心坐标的变化不成同一比例（半径增加快于圆心移动，因此k增加时使得动圆将原来的切点包括在新圆的内部），因此不存在定直线m与动圆恒相切
简单推理，当k为无穷大时，MN退化为原点（0，0），动圆半径为0，因此m必须过原点；
当k=0时，动圆圆心为（0，1），半径为2；
当k=1时，动圆圆心为（2，3），半径为4；对于k=0，k=1的两种情况，与动圆都相切的直线只有两条x=-2，y=-1，且均不经过原点，因此反证得m不存在

追问

请问为什么x2-x1=4(（1+k^2）^(1/2)) 我是初三的，没学二分之一次方
还有，为什么动圆半径为2（1+k^2）

追答

二分之一次方就是根号，那是根据关于x1、x2的二次方程x^2-4kx-4=0的通解求得的
即x2-x1=4倍根号下（1+k^2），因为动圆以MN为直径，所以M、N两点的距离就是2倍半径
M、N都在直线y=kx+1上，所以（y2-y1）^2=k^2*（x2-x1）^2