Question

如图，在等腰三角形ABC中，角ACB等于90度，D为BC的中点，DE垂直于AB，垂足为E，过点B作

如图，在等腰三角形ABC中，角ACB等于90度，D为BC的中点，DE垂直于AB，垂足为E，过点B作BF平行于AC交DE的延长线于点F。1、求证:AD垂直于CF。2、连接AF，试判断三角形ACF的形状，并说明理由。

Answer 1

证明：（1）在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在Rt△CBF和Rt△ACD中， {BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC，
∴Rt△CBF≌Rt△ACD．
∴∠BCF=∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．

（2）△ACF是等腰三角形，
理由：由（1）知：CF=AD，△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，即AF=AD，
∴CF=AF．
∴△ACF是等腰三角形。

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