Question

为什么“若三次函数f(x)=ax^3＋bx^2＋cx＋d(a,c不等于0)是奇函数，则其图像与x轴

为什么“若三次函数f(x)=ax^3＋bx^2＋cx＋d(a,c不等于0)是奇函数，则其图像与x轴不可能有两个公共点。”试证明。

Answer 1

1.奇函数推出b=0,d=0

追答

a不等于0，

讨论c，1.c=0,则只有一交点为x=0

2.c不等于0则由对称性得两边要么都没有，要么都有，共有1个或三个交点

所以不可能有两个

不懂再问

懂了请cai na

追问

“2.c不等于0则由对称性得两边要么都没有，要么都有，共有1个或三个交点”中要么都没有是咋回事？

追答

就是ac>0的情况，这时候函数在R上单调

ac同号，要么增，要么减

图像和x^3相似

只在x=0处有交点

懂？

不懂再问噢

采纳一下吧

追问

可不可以用导数的语言解释呢？

追答

你想的复杂了

本身奇函数的几何性质就是中心对称

而且初等函数的单调性是不用证明的，不然做什么都要证y=x是增函数了

可以这么想，在R上有定义的奇函数必定有零点x=0,设在正半轴有n零点，由几何性质得在负半轴必定也有n个零点，所以奇函数的零点数肯定是奇数

追问

据我所判断，有两种情况，一是当c=0时，其图像与x轴有1个交点，二是当c不等于0时，其图像与x轴有3个交点，是这个意思吧？

追答

差不多，只是c不等于0时可能也只有一个零点

追问

求解释

追答

a正，c正，整个函数是单调增，只有一个零点。a负c负，整个单调减，只有一个零点

这是基本常识，不用证明

还不懂

？

采纳不？

追问

懂了，用导数解释的通。

追答

好的

Answer 2

很简单的问题，你看，他是奇函数，那么必定过（0，0）点，说明他至少有一个交点了，而且
他还是关于原点相对称，根据对称，可以知道，他除了原点外，可以有2*n个交点，n是正整数，
然后就有了，这个函数只能由2*n+1，也就是奇数个交点，不是吗？
望采纳，谢谢