Question

高中数学，等差数列求和问题

等差数列（an）前n项和满足S20=S40，下列结论正确的是A.S30是Sn中最大值B.S30是Sn中最小值C.S30=0D.S60=0
请说明理由，越详细越好

Answer 1

设等差数列{an}的公差为d，①若d=0，可排除A，B；②d≠0，可设Sn=pn^2+qn（p≠0），
∵S20=S40，∴400p+20q=1600p+40q，q=-60p，
∴S60=3600p-3600p=0；
故选D

其他选项：S30是函数Sn的顶点
当d>0时，S30是Sn中的最小值
当d<0时，S30是Sn中的最大值
当d=0,a1=0时，S30才等于0
因此，ABC无法确定，D选项正确

Answer 2

设等差数列公差为d
由条件可知S40-S20=0
所以S40-S20=S20+400d=0
（这里一定要理解，S40-S20就是从a21一直加到a40
而a21=a1+20d，a22=a2+20d……）
选项A和选项B很明显是错的，两种情况都有可能出现
选项C只有在数列an=0时才正确
对于S60=0下面给出证明
把S20+400d=0两边同时乘以3再整理得
S20+（S20+400d）+（S20+2×400d）=0
所以S20+(S40-S20)+(S60-S40)=0
所以S60=0

Answer 3

解：因为S20=S40
所以：S40-S20=a21+....+a40=0
根据等差数列的性质：a21+....+a40=(a21+a40)*20÷2=0
所以：a21+a40=0

S60=(a1+a60)*60÷2=[(a1+20d)+(a60-20d)]*60÷2
=(a21+a40)*60÷2.
=0

选【D】

希望能帮到你~

Answer 4

选D
S20=20a1+(1+2+3+4+...+19)d
S40=40a1+(1+2+3+4+...+39)d
S20=S40 则(20+21+...+39)d+20a1=0 即 a1= -29.5d
所以 代入S60=60a1+(1+2+...+59)d=0

Answer 5

S20=S40
a21+a22+……+a40=0 a30+a31=0 a1+a60=0 S60=0
选D