Question

已知ab为实数，且a²＋ab＋b²＝3,若a²－ab＋b²的最大值是m,最小值是n，求m＋n的值。

Answer 1

因为a²＋ab＋b²=(a+b)²-ab=3
所以ab=(a+b)²-3
a²－ab＋b²=(a+b)²-3ab=(a+b)²-3[(a+b)²-3]=9-2(a+b)²
所以当a=-b时最大值m=9
因为a²＋ab＋b²=(a-b)²+3ab=3
所以ab=1-(a-b)²/3
a²－ab＋b²=(a-b)²+ab=1+2(a-b)²/3
所以当a=b时最小值n=1
所以m+n=10

Answer 2

由a,
b为实数,
有(a-b)²
≥
0.
于是3(a²-ab+b²)
=
(a²+ab+b²)+2(a²-2ab+b²)
=
3+2(a-b)²
≥
3,
即有a²-ab+b²
≥
1.
而a
=
b
=
1时等号成立,
故a²-ab+b²的最小值就是1.
由a,
b为实数,
有(a+b)²
≥
0.
于是a²-ab+b²
=
3(a²+ab+b²)-2(a²+2ab+b²)
=
9-2(a+b)²
≤
9,
即有a²-ab+b²
≤
9.
而a
=
√3,
b
=
-√3时等号成立,
故a²-ab+b²的最大值就是9.
综上,
m
=
9,
n
=
1,
故m+n
=
10.