Question

请教一道定积分不等式证明题

题目在附件里面

Answer 1

这题我怀疑你的结论刚好写反了，应该是∫..x/sinxdx>=π/4 ，请你再看看题目

1<π/2，所以sinx在(0,1)恒大于0
然后就是思路问题，注意到arctan(1)=π/4，arctan(0)=0，而arctanx的导数为1/(1 x^2)
如果能够证明在(0,1)内x/sinx>=1/(1 x^2)，那么根据定积分的性质就可以证出来了
x/sinx>=1/(1 x^2)这个式子不太好证，根据sinx>0以及1 x^2>0转成求证x(1 x^2)<=sinx即x x^3-sinx>=0
构造F(x)=x x^3-sinx，那么F'(x)=1 3x^2-cosx=(1-cosx) 3x^2>=0
所以在(0,1)内恒有F(x)>=F(0)=0
所以在(0,1)内x/sinx>=1/(1 x^2)

于是∫..x/sinxdx>=∫..1/(x^ 1)dx=arctan(1)-arctan(0)=π/4-0=π/4
所以∫..x/sinxdx>=π/4

Answer 2

严格来说，柯西不等式是大纲不要求的，而且楼主的这题考研基本不会出。 如果楼主有《历年真题解析》讲解的比较全面的那种（比如命题组的那本），可以参考一下2003年真题，第八题第二问。 共四种解法，最后一种解法用到并介绍了柯西不等式。 PS：楼主好像没看懂我在前面贴的那个命题，那个命题是要你用柯西不等式先来证明，再来用的；不是直接拿来用的，汗。 不过考试的时候直接用的话，在前面加一句“由柯西不等式和定积分性质得：”，也勉勉强强了。

Answer 3

最典型的柯西不等式和定积分的应用！ 其实我认为不用取到最值的，只需取区间中点x=1/2处作为辅助点； 然后在区间 [0，1/2] 和 [1/2，1] 上两次使用柯西不等式，最后合并定积分的区间即可。 楼主可以证一下，时间紧迫我就不写了。 附：此题更一般的命题方法如下： [attach]192204

Answer 4

其实就是取中点分区间就没问题了，不然会不够严谨。

Answer 5

4楼的证法超过了我能理解的水平 弱弱地问一句： 是不是用了所谓的柯西不等式？