Question

2011重庆中考数学最后一题第二问的详细解答

如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=2倍根号3，点O是AB的中点，点P在AB的延长线上，且BP=3．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

Answer 1

0≤t＜1时是直角梯形，上底是1+t，下底是3+t，高是2倍根号3，则S=(2倍根号3)t+4 倍根号3；
1≤t＜3时是等边三角形减两个三角形，等边三角形面积是9倍根号3，上面三角形的面积是根号3，右边三角形直角边是3-t与根号3倍（3-t），化简后S=（- (根号3）/2）×t方+（3 倍根号3）t+ (7倍根号3)/2；
3≤t＜4时是等腰梯形，上底是2-2（t-3），下底是6-2（t-3），高是2倍根号3，则S=-4 倍根号3t+20倍根号 3；
4≤t＜6时是等边三角形，边长是6-2（t-3），则S= 根号3倍t方-（12倍根号3）t+36倍根号3。

图你自己画一下吧，对照图你就明白了。

Answer 2

（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2 倍根号3，tan∠CFB= BC/BF，即tan60= 2倍根号3/BF，解得BF=2，即3-t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；
（2）当0≤t＜1时，S=(2倍根号3)t+4 倍根号3；
当1≤t＜3时，S=- (根号3/2)t2+3 倍根号3t+ (7倍根号3)/2；
当3≤t＜4时，S=-4 倍根号3t+20倍根号 3；
当4≤t＜6时，S= 根号3t2-12倍根号 3t+36倍根号 3；
（3）存在．
理由如下：在Rt△ABC中，tan∠CAB= BCAB= 根号3/3，
∴∠CAB=30°，又∵∠HEO=60°，∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=3-t或t-3，
1）当AH=AO=3时，（如图②），过点E作EM⊥AH于M，则AM= 1/2AH= 3/2，
在Rt△AME中，cos∠MAE═ AM/AE，即cos30°= (3/2)/AE，
∴AE= 根号3，即3-t=根号 3或t-3= 根号3，
∴t=3- 根号3或t=3+根号 3，

2）当HA=HO时，（如图③）则∠HOA=∠HAO=30°，
又∵∠HEO=60°，∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=3，∴AE+2AE=3，AE=1，
即3-t=1或t-3=1，∴t=2或t=4；

3）当OH=OA时，（如图④），则∠OHA=∠OAH=30°，
∴∠HOB=60°=∠HEB，∴点E和点O重合，
∴AE=3，即3-t=3或t-3=3，t=6（舍去）或t=0；

综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=3- 根号3或t=3+ 根号3或t=2或t=2或t=0．

追问

是要第二问的详细过程，不只是答案。。。

Answer 3

图1 图2

图3 图4

图5 图6 图7

图8

解答：从图1到图4的运动过程是点E从O到A，点F从P到B的过程；注意此过程中
等边 EFG始终边长为6，图2,3,4中上边的小等边边长为2.
(1) 当 0 t<1时（即图1至图2）重叠部分的面积为直角梯形
S= （1+t+3+t）= .
(2) 当1 t<3时（即图3至图4）重叠部分的面积为等腰梯形的面积减去图中阴影的面积
S= （2+6）— （3-t） （3-t）= .
(3) 当 3 t<4时（即图5至图6）此时等边 EFG边长为12-2t图5中上边小等边三角形边长为12-2t-4=8-2t ,重叠面积为等腰梯形
S= （8-2t+12-2t）= .
(4) 当 4 t<6时（即图7至图8）此时重叠部分为等边 EFG，边长为12-2t。所以面积为S=

Answer 4

（1）当边FG恰好经过点C时，∠CFB=60°，BF=3-t，在Rt△CBF中，BC=2 倍根号3，tan∠CFB= BC/BF，即tan60= 2倍根号3/BF，解得BF=2，即3-t=2，t=1，∴当边FG恰好经过点C时，t=1；
（2）当0≤t＜1时，S=(2倍根号3)t+4 倍根号3；
当1≤t＜3时，S=- (根号3/2)t2+3 倍根号3t+ (7倍根号3)/2；
当3≤t＜4时，S=-4 倍根号3t+20倍根号 3；
当4≤t＜6时，S= 根号3t2-12倍根号 3t+36倍根号 3

追问

过程、、、、、、、、、过程、、、、、、、

Answer 5

KANKANBA