Question

定积分∫（1~0）e^(x^2) dx的解，上限为1下限为0？

Answer 1

原题改成：求定积分∫(上限为1,下限为0)1/(x^2 4x 5)dx∫(1,0) 1/(x^2 4x 5) dx＝∫(1,0) 1/[(x＋2)^2＋1] d(x 2)原函数是arctan(x 2)＝arctan3 － arctan2。

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。

把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式。

Answer 2

应该学过多重积分了吧，不然比较难办
设I=∫（1~0）e^(x^2)
dx
那么∫（1~0）∫（1~0）e^(x^2+y^2)
dxdy
=∫（1~0）e^(x^2)
dx∫（1~0）e^(y^2)
dy
=I^2
∫（1~0）∫（1~0）e^(x^2+y^2)
dxdy
变换为极坐标
=∫（2pi~0）dθ∫（1~0）e^(r^2)r
dr
=pi*e
[后面的积分应该好算，一般的都是（0，∞）这个区间的，就是1了，你的（0,1）就是e]
所以I=（π*e）^（1/2）

Answer 3

对积分上限1
下限0dy
定积分上限根号y
下限0
e^yf(x)dx
改变积分次序，先对y、后对x积分，得到
该积分=∫〔0到1〕dx∫〔x^2到1〕【e^yf(x)】dy
=∫〔0到1〕【f(x)*（e-e^x^2）】dx
即=定积分上限1
下限0
（e-e^x^2）f（x）dx