Question

求下列微分方程

Answer 1

1、2y''+y'-y=2e^x
特征方程：2r^2+r-1=0
(2r-1)(r+1)=0
r1=1/2，r2=-1
则原方程对应的齐次方程的通解为：Y=C1*e^(x/2)+C2*e^(-x)
因为y=e^x是原方程的一个特解
所以原方程的通解为：y=C1*e^(x/2)+C2*e^(-x)+e^x，其中C1,C2是任意常数
2、y''-6y'+9y=(x+1)e^(2x)
特征方程：r^2-6r+9=0
(r-3)^2=0
r1=r2=3
则原方程对应的齐次方程的通解为：Y=(C1*x+C2)e^(3x)
设原方程的特解为：y=(Ax+B)e^(2x)
则y'=(2Ax+A+2B)e^(2x)，y''=(4Ax+4A+4B)e^(2x)
代入原方程，(4Ax+4A+4B)e^(2x)-(12Ax+6A+12B)e^(2x)+(9Ax+9B)e^(2x)=(x+1)e^(2x)
Ax+7A+B=x+1
A=1，B=-6
即原方程的特解为：y=(x-6)e^(2x)
所以原方程的通解为：y=(C1*x+C2)e^(3x)+(x-6)e^(2x)，其中C1,C2是任意常数
3、y''-2y'+5y=e^x*sin2x
特征方程为：r^2-2r+5=0
(r-1)^2=-4
r1=1+2i，r2=1-2i
则原方程对应的齐次方程的通解为：Y=e^x*(C1*cos2x+C2*sin2x)
设原方程的特解为：y=xe^x*(Acos2x+Bsin2x)
则y'=e^x*(Acos2x+Bsin2x)+xe^x*[(A+2B)cos2x+(B-2A)sin2x]
y''=e^x*[(2A+4B)cos2x+(2B-4A)sin2x]+xe^x*[(4B-3A)cos2x+(-3B-4A)sin2x]
代入原方程，e^x*[(2A+4B)cos2x+(2B-4A)sin2x]+xe^x*[(4B-3A)cos2x+(-3B-4A)sin2x]-e^x*(2Acos2x+2Bsin2x)-xe^x*[(2A+4B)cos2x+(2B-4A)sin2x]+xe^x*(5Acos2x+5Bsin2x)=e^x*sin2x
4Bcos2x-4Asin2x=sin2x

A=-1/4，B=0
即原方程的特解为：y=(-x/4)*e^x*cos2x
所以原方程的通解为：y=e^x*(C1*cos2x+C2*sin2x)-(x/4)*e^x*cos2x
y=e^x*[(C1-x/4)*cos2x+C2*sin2x]，其中C1,C2是任意常数
4、y''-2y'+2y=e^(-x)*sinx
特征方程为：r^2-2r+2=0
(r-1)^2=-1
r1=1+i，r2=1-i
则原方程对应的齐次方程的通解为：Y=e^x*(C1*cosx+C2*sinx)
设原方程的特解为：y=e^(-x)*(Acosx+Bsinx)
则y'=e^(-x)*[(B-A)cosx+(-A-B)sinx]，y''=e^(-x)*[(-2B)cosx+(2A)sinx]
代入原方程，e^(-x)*[(-2B)cosx+(2A)sinx]-e^(-x)*[(2B-2A)cosx+(-2A-2B)sinx]+e^(-x)*(2Acosx+2Bsinx)=e^(-x)*sinx
(4A-4B)cosx+4Asinx=sinx
A=B=1/4
即原方程的特解为：y=e^(-x)*(1/4)*(cosx+sinx)
所以原方程的通解为：y=e^x*(C1*cosx+C2*sinx)+e^(-x)*(1/4)*(cosx+sinx)
其中C1,C2是任意常数