Question

用定义证明lim[n→∞]a^(1/n)=1(a>0,a≠1)

Answer 1

洛必达法则不能用，因为不是连续函数，不可求导。
正确的做法是
由stolz定理
设xn=n，yn=a^n.
lim
xn/yn
=
lim
(xn-x(n-1))/(yn-y(n-1)
=
lim
(n-(n-1))/(a^n-a^(n-1))=
lim
1/((a-1)(a^(n-1))),(n→∞,a>1)。
然后按定义就能做。
1/((a-1)(a^(n-1)))是最基本的要求用定义证明的数列，希望lz能自己完成。

Answer 2

证明：
|e^(1/n*lna)
-1|<&
(&为任意正整数）
当
N=n时不等式成立
则当N=n+1时
|e^【1/（n+1）*lna】
-1|<|e^(1/n*lna)
-1|<&
即
lim[n→∞]a^(1/n)-1=0
所以
lim[n→∞]a^(1/n)=1