Question

帮忙求下下面三个极限: lim(n→∞)∑(n+i)½／(n³)½,下部为i=1,上部为n

Answer 1

这种求和的题基本上就是两种方法：一是不等式放缩然后用夹逼定理。而是用定积分的定义。前面两个都是用定积分的定义，1、求和号提出因子1/n，求和号变为1/n*∑(1+i/n)½对i从1到n求和。这恰好是f(x)=(1+x)^(1/2)在[0,1]上均分为n份的Riemann和，因此极限是积分(从0到1)(1+x)^(1/2)=2(1+x)^(3/2)/3|上限1下限0=2/3*[2^(3/2)-1]。2、类似，提出1/n后变为1/n*∑1/(2+i/n)，f(x)=1/(2+x)在[0,1]上的Riemann和，极限是：积分(从0到1)dx/(2+x)=ln(2+x)|上限1下限0=ln(3/2)。3、洛必达法则和微积分基本定理合用。分子求导时用微积分基本定理：[积分(从a到x)f(t)dt]'=f(x)，因此用一次洛必达法则后变为lim
cos(x^2)/cosx=1。