Question

设函数f(x)=x3+ax2+4x+3

Answer 1

对f（x）求导得到f‘（x）=3x^2+2ax+4
(1)该函数
是单调递增函数
故f‘（x）=3x^2+2ax+4>=0恒成立
所以△<=0
得到4a^2-4*4*3<=0
-2√3<=a<=2√3
(2)该函数的图像的所有切线中，有且只有一条与直线x-y=0平行
故f’（x）=3x^2+2ax+4=1只有唯一解
△=0
得到a=3或-3
所以f（x）=x3+3x2+4x+3或x3-3x2+4x+3
对应的f‘（x）=3x^2+6x+4或3x^2-6x+4
切点为（-1,1）或（1,1）
切线方程为x-y+2=0或x-y=0（舍去）
所以切线方程为x-y+2=0
（2）f’（-2）=0代入到f‘（x）=3x^2+2ax+4
得到a=4
故f‘（x）=3x^2+8x+4=（x+2）（3x+2）
f（x）=x3+4x2+4x+3
令x>0
得到x<-2或x>-2/3
令x<0得到-2<x<-2/3
所以f（x）在[-3,-2][-2/3,-1/3]上递增，在[-2,-1/3]上递减
f（-3）=0
f（-2）=3
f（-2/3）=49/27
f（-1/3）=56/27
所以f（x）在[-3,-1/3]上的最大值为3，最小值为0