Question

设函数f(X)定义在（0，+∞）上，f(1)=0,导数f'(x)=1/x,g(x)=f(x)+f'(x) 。

（①）讨论g（x）与g（1/X）大小关系
（②）求a的取值范围，使得g（a)-g（x)<1/a对任意x>0成立

Answer 1

f'(x)=1/x 所以f(x)=lnx+c
f(1)=0 c=0
f(x)=lnx
g(x)=lnx+1/x (x>0)
g(1/x)=x-lnx (x>0)
g(x)-g(1/x)=2lnx+1/x-x 另F(x)=2lnx+1/x-x
F(x)'=2/x-1/x^2-1=-(x-1)^2/x^2 <0 F(x)递减 观察到F(1)=0
所以x∈（0，1）F(X)>0 即g(x)>(1/x)
x∈(1,+∞) F(X)<0 即g(x)<(1/x)
2: lna+1/a-lnx-1/x<1/a → lna<lnx+1/x 对任意x>0成立
g(x)'=1/x-1/x^2=x-1/x^2 所以在x=1取得最小值为1
即lna<1 （x>0） 0<a<e

Answer 2

求原函数错掉了，f(x)=1/2*lnx^2