Question

分式方程的运算技巧

Answer 1

分式运算技巧

分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.
一、逐步通分法
例1 计算
分析：此题若采用将各项一起通分后相加的方法，计算量很大．注意到前后分母之间存
在着平方差关系，可逐步通分达到目的．
解：原式= =
评注：若一次通分，计算量太大，利用分母间的递进关系，逐步通分，避免了复杂的计算．依次通分构成平方差公式，采用逐步通分，则可使问题简单化。
二、整体通分法
例2 计算
分析 题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.
解：原式=
评注：此题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作分母为1的分式，再通分相
加，使得问题的解法更简便．
三、分裂整数法
例3. 计算：
分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法，对分子降次后再通分.

评注：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。
四、裂项相消法
例4 计算
分析 我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分.
解：原式= =
评注：本题若采用通分相加的方法，将使问题变的十分复杂，注意到分母中各因式的关
系，再逆用公式 ，各个分式拆项，正负抵消一部分，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项法。
五. 见繁化简法
例5. 计算：
分析 分式加减时，如果分母不同要先分解因式，再找到公分母，把每个分式的分母都化为公分母的形式
解：原式

评注：若运算中的分式不是最简分式，可先约分，再选用适当方法通分，可使运算简便。
在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动，活用方法。方能起到事半功倍的效率。

六、挖掘隐含条件，巧妙求值
例6 若 ，则 =___________。
解：∵ ，∴
但考虑到分式的分母不为0，故x=3
所以，原式
说明：根据题目特点，挖掘题中的隐含条件，整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。

七、巧用特值法求值
例7 已知 ，则 =_____________。
解：此题可直接令x=4，y=5，z=6，代入得：
原式

说明：根据题目特点，给相关的字母赋予特定的数值，可简化求解过程。

八、巧设参数（辅助未知数）求值
例8 已知实数x、y满足x:y=1:2，则 __________。
解：设 ，则 ， ，故原式
说明：在解答有关含有比例式的题目时，设参数（辅助未知数）求解是一种常用的方法。

九、 整体代入
例9 若 =5，求 的值．
分析：将 =5变形，得x-y=-5xy,再将原式变形为 ，把x-y=-5xy代入，即可求出其值．
解：因为 =5，所以x-y=-5xy.
所以原式= = = =
说明：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值，可避免由局部运算所带来的麻烦．

十、倒数法
例2已知a+ =5．则 =__________.
分析：若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将 的分子、分母颠倒过来，即求 =a2+1+ 的值，再进一步求原式的值就简单很多．
解：因为a+ =5，
所以（a+ ）2=25，a2+ =23.
所以 =a2+1+ =24，
所以 =