分式方程的运算技巧

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推荐于2016-03-17
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分式运算技巧

分式运算,一要准确,二要迅速,其中起着关键作用的就是通分. 但对某些较复杂的题目,使用一般方法有时计算量太大,导致出错,有时甚至算不出来,对于分式的通分,要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.
一、逐步通分法
例1 计算
分析:此题若采用将各项一起通分后相加的方法,计算量很大.注意到前后分母之间存
在着平方差关系,可逐步通分达到目的.
解:原式= =
评注:若一次通分,计算量太大,利用分母间的递进关系,逐步通分,避免了复杂的计算.依次通分构成平方差公式,采用逐步通分,则可使问题简单化。
二、整体通分法
例2 计算
分析 题目中既有分式又有整式,不相统一,我们可以寻求到可以做为整体的部分,那么计算起来就可以简便一些.
解:原式=
评注:此题是一个分式与多项式的和,若把整个多项式看作分母为1的分式,再通分相
加,使得问题的解法更简便.
三、分裂整数法
例3. 计算:
分析 如果几个分母不同通分时可使用分裂整数法,对分子降次后再通分.

评注:当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时,一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解某些分式方程中,也可使用分裂整数法。
四、裂项相消法
例4 计算
分析 我们看到题目中每一个分式的分母是两个因数之积,而分子又是一个定值时,可将每一个分式先拆成两项之差,前后相约后再通分.
解:原式= =
评注:本题若采用通分相加的方法,将使问题变的十分复杂,注意到分母中各因式的关
系,再逆用公式 ,各个分式拆项,正负抵消一部分,再通分。在解某些分式方程中,也可使用拆项法。
五. 见繁化简法
例5. 计算:
分析 分式加减时,如果分母不同要先分解因式,再找到公分母,把每个分式的分母都化为公分母的形式
解:原式

评注:若运算中的分式不是最简分式,可先约分,再选用适当方法通分,可使运算简便。
在分式运算中,应根据分式的具体特点,灵活机动,活用方法。方能起到事半功倍的效率。

六、挖掘隐含条件,巧妙求值
例6 若 ,则 =___________。
解:∵ ,∴
但考虑到分式的分母不为0,故x=3
所以,原式
说明:根据题目特点,挖掘题中的隐含条件,整体考虑解决方案是解决本类题目的关键。

七、巧用特值法求值
例7 已知 ,则 =_____________。
解:此题可直接令x=4,y=5,z=6,代入得:
原式

说明:根据题目特点,给相关的字母赋予特定的数值,可简化求解过程。

八、巧设参数(辅助未知数)求值
例8 已知实数x、y满足x:y=1:2,则 __________。
解:设 ,则 , ,故原式
说明:在解答有关含有比例式的题目时,设参数(辅助未知数)求解是一种常用的方法。

九、 整体代入
例9 若 =5,求 的值.
分析:将 =5变形,得x-y=-5xy,再将原式变形为 ,把x-y=-5xy代入,即可求出其值.
解:因为 =5,所以x-y=-5xy.
所以原式= = = =
说明:在已知条件等式的求值问题中,把已知条件变形转化后,通过整体代入求值,可避免由局部运算所带来的麻烦.

十、倒数法
例2已知a+ =5.则 =__________.
分析:若先求出a的值再代入求值,显然现在解不出.如果将 的分子、分母颠倒过来,即求 =a2+1+ 的值,再进一步求原式的值就简单很多.
解:因为a+ =5,
所以(a+ )2=25,a2+ =23.
所以 =a2+1+ =24,
所以 =
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