Question

数学题 数学题 高中数学题 ！！

已知各项均为正数的数列{an}，对于任意正整数n，点（an，sn）在直线y＝1/2（x2＋x）上。求证：数列{an}是等差数列。

Answer 1

∵点（an，sn）在直线y＝1/2（x2＋x）上 ∴Sn=1/2（an^2＋an） ∴an=Sn-S(n-1)=1/2（an^2＋an）-1/2（a[n-1]^2＋a[n-1]） 即1/2（an^2-an）-1/2（a[n-1]^2＋a[n-1]）=0 即（an^2-an）-（a[n-1]^2＋a[n-1]）=0即（an^2-a[n-1]^2）-（a[n-1]+an）=0 即（a[n-1]+an）（an-a[n-1]-1）=0 （n≥2） 又∵{an}各项均为正数的数列 ∴an+a[n-1]≠0 ∴an-a[n-1]-1=0即an-a[n-1]=1=d a1=S1=1/2（a1^2+a1）解得a1=1 ∴an=a1+（n-1）d=n(n≥2)又a1满足an=n ∴综上an=n 为等差数列

Answer 2

因为(an,sn)在y=1/2(x^2+x)
所以sn=1/2(an^2+an)

sn-1=1/2(an-1 ^2+an-1)

两式相减得an-an-1=an^2-an-1^2
an-an-1=1
令n=1，得an=1或0（舍去）
所以{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。给个采纳呗，谢啦！

Answer 3

令an=x, sn=y带入方程得 sn=1/2(an^2+an) 推得 sn-1=1/2(an-1^2+an-1)（注意，此时n>=2)
因为 an=sn-sn-1
所以 1/2（an^2-an）-1/2（a[n-1]^2＋a[n-1]）=0
（an^2-an）-（a[n-1]^2＋a[n-1]）=0
（an^2-a[n-1]^2）-（a[n-1]+an）=0 (n>=2)
又∵{an}各项均为正数的数列
∴an+a[n-1]≠0
∴an-a[n-1]-1=0
即an-a[n-1]=1=d a1=S1=1/2（a1^2+a1）解得a1=1
∴an=a1+（n-1）d=n(n≥2)
又a1满足an=n
∴综上an=n 为等差数列
望采纳。

Answer 4

用Sn代替y,an代替x。则Sn=1\2(an^2+an),S(n-1)=1\2(a(n-1)^2+a(n-1))。两式均乘2再相减,得2an=an^2+an-a(n-1)^2-a(n-1)。两边同时减2an。得an^2-a(n-1)^2=an+a(n-1).左边可以用平方差公式化减,所以等式化为(an+a(n-1))(an-a(n-1))=an+a(n-1).如果an+a(n-1)=0,则an为等比数列，但由题目中关于x的函数可知an最小值为负八分之一。但an可能小于此值。故an+a(n-1)不为零。上面的等式可化为an-a(n-1)=1。故{an}为等差数列。