Question

两个数列存在极限 他们的四则运算得出的新数列是否存在极限。理由或反例

Answer 1

加、减、乘后任然存在极限，
加减可由 |x+y|<=|x|+|y| 和极限定义 证明
除法就不一定， 例如 an=[(-1)^n ] /n^3 bn =1/n^3, an/bn=(-1)^n 显然极限不存在

乘法证明思路：
如果an,bn的极限分别为a0,b0
anbn-a0b0=(an-a0)(bn-b0)-b0*an- a0* bn
其中 (an-a0)(bn-b0) 容易证明其极限为0，
b0*an、 a0* bn两项的极限均为 a0*b0
所以(an-a0)(bn-b0)-b0*an- a0* bn的极限为0
anbn = 【(an-a0)(bn-b0)-b0*an- a0* bn】 +a0b0的极限为a0b0

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谢谢！

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