Question

已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x^3+ax^2-x+2,(1)如果函数g(x)的单调递减区

间为(-1/3,1)求函数y=g(x)的图像在点(-1,1)处的切线方程；(2)若不等式2f(x)<=g'(x)+2在x∈[1,2]上有解，求实数a的取值范围。

Answer 1

f（x）=xlnx，g（x）=x^3+ax^2-x+2

（1）如果函数g（x）的单调递减区间为（-1/3,1),求函数g（x）的解析式

（2）在（1）的条件下，求函数y=g（x）的图像过点p（1，1）的切线方程

（3）对一切的x属于（0，+无穷），2f（x）小于等于g（x）+2恒成立，求实数a的取值范围。

(1)解：求导，g’(x)=3x2+2ax-1

g’(1)=2+2a=0

a=-1

所以g(x)=x3-x2-x+2

(2)解：斜率k=g’(1)=0,

切线方程为，y=1

(3)解：

2f(x)≤g'(x)+2

=>g'(x)+2-2f(x)>=0

=>3x2+2ax-1+2-2xlnx≥0

=>3x+2a+1/x-2lnx≥0

=>3x+1/x-2lnx≥-2a

=>lnx-3x/2-1/2x≤a

令：h（x)=lnx-3x/2-1/2x==>h(x) ≤ a

h'(x)=1/x-3/2+1/2x2=0

=>3x2-2x-1=0

=> (3x+1)(x-1)=0 [x属于（0，+无穷）]

=>x=1

因为x>0，所以函数在(0,1]为增函数、[1,+∞)为减函数

极大值就是最大值为h(1)=-2

所以a∈[-2,+∞)

追问

主要是第二问，超级感谢

追答

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